Пошук по сайту


Властивості підхідних дробів - Література Вступ

Література Вступ

Сторінка2/2
1   2

Властивості підхідних дробів, їх чисельників і знаменників, сформульовані у теоремах 2-14 для скінченних ланцюгових дробів, справедливі і для нескінченних ланцюгових дробів. Дійсно, яке б велике не було n підхідні дроби p0 p1 до нескінченного ланцюгового дробу є

q0 , q1 ... qк

разом з тим підхідними дробами до скінченного ланцюгового [а0;а1,а2...ак,ак+1]. Отже, твердження теорем, для нескінченних ланцюгових дробів, витікають наступні твердження.

Теорема 16: Величина збіжного нескінченного ланцюгового дробу більше будь - якого підхідного дробу парного порядку, і менше будь - якого підхідного дробу непарного порядку (з теорем 8,12).
Теорема 17: Величина L збіжного нескінченного ланцюгового дробу при довільному k≥0 задовольняє нерівність:

│L-│< 1 (з теореми 4)

qк│ qкqк+1
Теорема 18: Будь – який нескінченний дріб збігається.

Доведення : Нехай [ао;а1,а2...]- довільний ланцюговий дріб, де аn є Z, аn≥1 при n=1, 2, 3...

В теоремі 14 було доведено, що підхідні дроби з парними і непарними номерами є лівими і правими кінцями системи вкладених один в одного інтервалів. Згідно з теоремою 13 │pn - pn+1│→0, отже довжини інтервалів (p0;p1) (p2,p3)...

│qn qn+1│ (q0 q1),(q0 q3)

прямують до нуля при n→∞.

За теоремою математичного аналізу ліві і праві кінці такої системи вкладених один в одного інтервалів, довжини яких прямують до нуля, мають спільну границю, що являє собою деяке дійсне число L таке, що

Теорему доведено.
Нехай L=[а0;а1,а2...]. повними частками в розкладі L будемо називати величини L0,L1,L2,... визначені рівностями:

L=[а0;а1... аn;Ln+1] при n≥0,

L=L0 при n=-1.

Теорема 19: Нехай L=[а0;а1,а2,...,Ln+1]- повна частка в розкладі L, тоді

L=pnLn+1+pn-1 (16)

qnLn+1+qn-1
Ln+1=pn-1-Lqn-1 (17),

Lqn-pn

Де pn, qn, pn-1, qn-1 – чисельники і знаменники n-ого і (n-1)-ого підхідного дробу до L.

Доведення: Зрівнюєш вирази

рn+1 = [а0;а1,а2,...аn,аn+1] і L=[а0;а1...аn,Ln+1] і бачимо, що якщо

qn+1

в рn+1 замінить аn+1 на Ln+1 і отримаємо L. Згідно т. 3

qn+1

рn+1 = pnan+1+pn-1 де pn,qn,pn-1,qn-1 не залежать від аn+1.

qn+1 qnan+1+qn-1

Замінимо аn+1 на Ln+1 і отримаємо L=pnLn+1+pn-1 , звідки й

qnLn+1+qn-1

випливає (17).

Формули (16) і (17) справедливі і при n=0 і n=-1; якщо прийняти p-1=1,q-1=0,p-2=0,q-2=1. Дійсно :

L=а0+1=а0 L1+1=p0L1+1 і L=1L+0

L1 L1 q0L1+0 0L+1.

В подальшому розгляді завжди будемо вважати, що

p-1=1,q-1=0,p-2=1,q-2=1.

Розклад дійсних чисел в ланцюгові дроби
Розкладом дійсного числа L в ланцюговий дріб називається подання L у вигляді:

L=[а0;а1,а2...], де а0,а1,а2...- скінченна або нескінченна послідовність цілих чисел, така що при k≥1 усі ак≥1, а в випадку скінченного розкладу останній елемент аn>1.

Теорема 20: нехай розклад L в ланцюговий дріб має вид:

L=[а0;а1,а2...].

Введемо позначення L´n=[аn;аn+1,...], тоді :

1). L=[а0;а1,а2,...аn-1;L´n] т.б. L´n=Ln являє собою n-повну частку в розкладі L.

2). аn=[Ln] при усіх n.

Доведення :

1). Для скінченного ланцюгового дробу це співвідношення очевидно. Розглянемо випадок нескінченного ланцюгового дробу. Якщо границя підхідних дробів до нескінченного ланцюгового дробу [аn;аn+1,аn+2,...] дорівнює L´n, то L´n>1, тоді !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!


2). Якщо ланцюговий дріб скінченний, а аn- його останній елемент, то аn=Ln=[Ln].

Якщо аn не є останнім елементом , то Ln+1=L´n+1=[аn+1;аn+2;...]>1; 0<__1_<1,

Ln+1

І як доведено у першій частині Ln=аn+ 1_ отже аn=[Ln].

Ln+1,
Приклад : знайти величину ланцюгового дробу.

L=[2;2,2,1,2,2,2,1...] де усі подальші елементи послідовно приймають значення 2,2,2,1.

Згідно теорем 19 і 20 маємо :

L=[2;2,2,1,L], L=p3L+p2

q3L+q2.

Складемо таблицю значень pn і qn при n=0,1,2,3.





2

2

2

1

pn

2

5

12

17

qn

1

2

5

7

__

Отже L=17L+12, 7L2-12L-12=0 і оскільки L>0, то L=6+2√30

7L+5 7
Теорема 21: для довільного дійсного числа існує розклад в ланцюговий дріб.

Доведення : нехай дано довільне дійсне число L. За теоремою 1 було доведено, що якщо L-раціональне число, то існує скінченний ланцюговий дріб, що дорівнює L.

Розглянемо випадок, коли L-ірраціональне число. Позначимо через а0-цілу частину L, а через L1-величину, обернену до дробової частини L, т.б. L1= 1, отже L=а0+ 1.

L-а0 L1

Оскільки L ірраціональне, а0≠L і L1-ірраціональне число, L1>1.

Отже, для довільного ірраціонального числа L можна знайти ціле число а0=[L] і ірраціональне число L1 такі, що L=а0+ 1 . Знаходимо таким же методом для L1 числа а1=[L1]

L1

і L2>1, для L2 числа а2=[L2] і L3>1 і так далі; отримаємо:

L= а0+ 1 а0=[L]

L1

L1=а1+ 1 а1=[L]

L2

.........................................

Ln=аn+ 1 аn=[Ln]

Ln+1

.........................................

де при n≥1 всі ірраціональні числа Ln>1 і, отже при всіх таких n числа аn=[Ln]≥1.

Числа а0, а1, а2, ... утворюють нескінченну послідовність цілих чисел і оскільки при n≥1, аn≥1 ми можемо узяти ці числа за елементи і скласти нескінченний ланцюговий дріб [а0;а1,а2,...], яка збігається. Доведемо, що величина цього ланцюгового дробу дорівнює числу L. Дійсно, з рівності (18) отримуємо L=[а0;а1,а2,...аn,Ln+1], згідно з теоремою 17 маємо : L=pnLn+1+pn−1

qnLn+1+qn−1

│L−pn│=│ pnLn+1+pn−1−pn│= 1 < 1 < 1

qn│ │ qnLn+1+qn−1 qn│(qnLn+1+qn−1)qn qn2Ln+1 qn2

Оскільки qn→∞ величина │L−pn│при зростанні n стає

qn│

менше довільного заданого додатного числа, т.б. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Приклад. Знайти перші чотири елемента розкладу в ланцюговий дріб числа π=3,14159265...

Знаходимо а0=[π]=3

L1= 1 = 1 а1 =[L1]=7

L−а0 0,14159265...

L2= 1 = 1 а2=[L2]=15

L1−а1 0,0625159...

L3= 1 = 1 а3=[L3]=1

L2−а2 0,99593

Отже, π=[3;7,15,1...]
Приклад. Знайти перші 6 елементів розкладу в ланцюговий дріб числа √14

ао=[√14]=3

L1= 1 = 1 =1,3483316... а1=[L1]=1

L−а0 0,7416573...

L2= 1 =2,8708276... а2=[L2]=2

0,3483316...

L3= 1 =1,1483329... а3=[L3]=1

0,8708276...

L4= 1 =6,7415927... а4=[L4]=6

0,1483329...

L5= 1 =1,348449 а5=[L5]=1

0,7415927...

``

Отже, √14=[3;1,2,1,6,1...]
Теорема 22: Для довільного дійсного числа L існує один і тільки один ланцюговий дріб, рівний L.

Доведення : нехай L=[а0;а1,а2,...]=[а`0;а`1,а`2,...] де аі і а`і - цілі числа, при і≥1- всі аі та а`і додатні. Будемо вважати , що хоч один з 2χ дробів нескінченний (випадок 2χ скінченних ланцюгових дробів розглядався в теоремі 2.)

Нехай ці два ланцюгові дроби відмінні хоча б на один елемент, і позначимо через k перший номер, такий, що ак≠а`к, т.б. припустимо, що ао=а`0, а1=а`1,...ак-1=а`к-1, ак≠а`к.

Позначимо Lк=[ак;ак+1,...],L`к=[а`к;а`к+1...].

З теореми 20.

L=[а0;а1,а2...ак-1,ак]=[а`0;а`1,а`2...а`к-1,а`к]. Отримаємо Lк=L`к, але згідно теоремі 20 ак=[Lк]=[L`к]=а`к, що суперечить умові ак≠а`к.

Таким чином, розклад в ланцюговий дріб може бути тільки один.
Отже, розкладаючи дійсні числа в ланцюгові дроби, ми для кожного раціонального числа маєм єдиний розклад, що являє собою скінченний ланцюговий дріб, а для кожного ірраціонального числа – єдиний розклад, являє собою нескінченний ланцюговий дріб.
Квадратичні ірраціональності і періодичні ланцюгові дроби


Число L називається квадратичною ірраціональністю, якщо L – ірраціональний корінь деякого рівняння аχ2+bχ+с=0 (19)

З цілими коефіцієнтами, що одночасно не дорівнюють нулю. При такому L, очевидно, а≠0, с≠0.

Корені (19) дорівнюють -b±√b2−4ас, отже довільну



квадратичну ірраціональність L можна записати у вигляді L=P+√Д , де Р і Q цілі, а Д(Д>1) – ціле неквадратне число.

Q

Другий корінь L`=P−√Д - називається ірраціональністю

Q

спряженою з L.
Приклади.

  1. √7 – квадратна ірраціональність, оскільки √7 є ірраціональним коренем рівняння χ2-7=0.

  2. L=1-√5 – квадратична ірраціональність, оскільки L є

3

ірраціональним коренем рівняння 9χ2-6χ-4=0.
Ланцюговий дріб [а0;а1,а2...] називається періодичним, якщо періодичною є послідовність елементів а0, а1, а2 ...
Приклад: Розкласти в ланцюговий дріб число 602

367

Розвязання: Якщо a додатній дріб, то застосовуємо

B

алгоритм Евкліда. Якщо

Приклад: Знайти підхідні дроби до ланцюгового дробу [-2;2,1,3,1,1,4,3]

С



-2

2

1

3

1

1

4

3

рк

-2

-3

-5

-18

-23

-41

-187

-602



1

2

3

11

14

25

114

367


кладемо таблицю (табл.(12)).

Представлення дійсних чисел ланцюговими дробами
За допомогою ланцюгових дробів одне й те ж саме раціональне число можна представити різними способами. Наприклад, .

В ланцюговому дробі



Який також можна записати в іншому вигляді, наприклад, () або () числа і (k=2, 3, …) називають ланцюгами, и – членами k–го ланцюга, із них – частковим чисельником, а – частковим знаменником.

Щоб отримати розклад раціонального числа в скінчений ланцюговий дріб (1), можна всі і , за виключенням одного вибрати довільно. Можна, наприклад, знайти розклад ; для цього потрібно взяти . Можна ланцюговий дріб перетворити так, щоб всі дорівнювали 1, тобто , щоб (1) прийняв вид (2).

Так, наприклад , . Дроби виду (2) називають звичайними ланцюговими дробами, а , , …, –їх неповними частками. Правильні ланцюгові дроби можна саме тому визначити як звичайні ланцюгові дроби з цілими додатніми частками, починаючи , причому може бути довільним цілим числом.

Правильні ланцюгові дроби є найбільш простими і найбільш вивченими серед ланцюгових дробів загального виду, однак і інші ланцюгові дроби відіграють велику роль і мають велике значення, наприклад , в наближеному аналізі, де за їх допомогою без складних викладок отримують дробово-раціональні наближення функцій.

Якщо ми маємо систему рівностей , , , … з довільними раціональними числами, то при b, c, d0, з них слідують рівності , , , …, отже, підставляючи ланцюжком, отримаємо .

k-я підхідний дріб визначається для за формулою при умові , що , , , .

  1. Користуючись нею, знайдемо, наприклад, підхідні дроби для розкладу . Маємо =, , , , , .

Цікавою особливістю ланцюгових дробів є те, що навіть раціональні числа можуть ними ж розкладатися в нескінченні ланцюгові дроби. Наприклад,



=, , , , , …

0,3; 0,42; 0,45; 0,467; …

Квадратичні ірраціональності розкладаються і неперіодичні ланцюгові дроби загального виду. Наприклад,



=, , , , , , , …

1; 1,5; 1,38; 1,44; 1,40; …

Але саме цікаве і важливе те, що в той час як до теперішнього часу невідомий розклад в правильний ланцюговий дріб ні однієї алгебраїчної ірраціональності степеня вище другого ( іншими словами, невідомі загальні властивості неповних часток таких розкладів, розклади самі по собі з якою завгодно точністю можна практично знайти), за допомогою загальних ланцюгових дробів знаходяться досить легко. Відмітимо, наприклад, деякі розклади відповідні підхідні дроби для :



=, , , , , , …

1,33; 1,22; 1,284.



=, , , , , , …

1,17; 1,25; 1,258; 1,2596; …

Приведемо ще декілька прикладів розкладів інших ірраціональностей в ланцюгові дроби загального виду:



=, , , , , , …

Цей ланцюговий дріб для був знайдений більше ніж 300 років назад англійським математиком Бункером.



=, , , , , , ,

Ейлер знайшов розклад в ланцюговий дріб e. e=(2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …), елементи розкладу e в ланцюговий дріб має вид:

, ,

Швейцарський математик Йоганн Генріх Ламберт (1728-1777) знайшов розклад числа у вигляді ланцюгового дробу.

Перші 25 неповних часток розкладу числа в правильний ланцюговий дріб є числа:

3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1.

Приклад. Знайти перші чотири підхідні дроби розкладу в ланцюговий дріб числа =3,14159265…

; =; =; =

Відповідь: ; ; ; .

Приклад. Розкласти в ланцюговий дріб і замінити підхідним дробом з точністю до 0,001число

Розв’язання: =. Виділимо із його цілу частину: , а дробову частину -2, яка <1, представимо в вигляді , де . Повторюємо цю операцію виділення цілої частини і перевертання дробової, і отримуємо:



.

Ми отримали, що , отже, неповні частки, починаючи з будуть повторюватися і =(2, (4)).

Складемо таблицю підхідних дробів:




2

4

4

4





2

9

38









1

4

17

72




Нам необхідно знайти такий підхідний дріб , щоб. Очевидно, що це , оскільки 17·72>1000.

Відповідь: .
Застосування неперервних дробів до розв’язування невизначених рівнянь першого степеня з двома невідомими.

Розв’язування невизначеного рівняння першого степеня з двома невідомими ax+by=c в загальному випадку не становить інтересу, бо, надаючи одному з невідомих довільного значення, дістаємо значення другого невідомого.

Складнішою буде така задача: знайти цілі розвязки рівняння при цілих a, b,c.

Теорема. Якщо х1, у1 яка-небудь пара цілих значень х і у, що задовольняють рівняння ax+by=c , де (a, b)=1, то загальний розвязок даного рівняння в цілих числах можна записати у вигляді: x=x1+bt, y=y1-at.
Приклад. Розв’язати в цілих числах рівняння 2x+5y=7

(2, 5)=1 рівняння має розвязок в цілих числах.

Розкладемо в ланцюговий дріб. =(0, 2, 2). Складемо всі підхідні дроби. ; ;

На основі властивостей підхідних дробів отримаємо

2·2-1·5 =(-1)3 або 2·2+5(-1)=-1

2·(-14)+5·7=7, тобто – частинний розвязок.

Всі розвязки можуть бути знайдені за формулами.

або
Приклад. Розв’язати рівняння Пелля: 1)

Розв’язання:

Представимо в вигляді ланцюгового дробу:







=(5, (10)).

Кількість чисел в періоді непарна (одна) =(5; 10)=.

- найменший додатній розвязок.

Відповідь: x=51, y=10.

2)















=(4, (2, 1, 3, 1, 2, 8))

Кількість чисел в періоді парна (шість)




4

2

1

3

1

2



4

9

13

48

61

170



1

2

3

11

14

39



Відповідь: x=170, y=39.


Загадка Григорія XIII

Розглянемо проблему чергування високосних років. Представимо довжину року у вигляді ланцюгового дробу.

1рік=365д5г49х46с=365,242199д=[365;4,7,1,3,5,20,6,12]д

Приведена вище величина року – прийнята, і ми вважаємо її точною. Вона виражається скінченим ланцюговим дробом.
Знаходимо декілька перших підхідних дробів.

.

Кожний підхідний дріб дає розв’язок проблеми календаря. Наприклад, наближення - приводить до розв’язку Юлія Цезаря: один високосний рік з кожних чотирьох. Користуватися наближенням  ніхто не пропонував, вважаючи, що наступне наближення  значно точнішим. Календар, за яким високосними повинні були б вважатися 8 років із кожних 33, був запропонований великим туркмено-персидським філософом, математиком, астрономом и поетом Омаром Хайямом (1040-1123).
Відомості про точність знайдених наближень до дійсної довжини року наведені в наступній таблиці:

№ наближення

Чергування високосних років

Середня довжина

Похибка

1

1 високосний із 4

365д6г00х00с

-11х14с

2

7 високосний із 29

365д5г47х35с

+1х11с

3

8 високосний із 33

365д5г49х05с

-19с

4

31 високосний із 128

365д5г48х45с

+1с

В графі "Похибка" знак мінус вказує, що середня довжина року більша дійсну. Четвертий варіант виключно точний. Похибка в в 1 сек. не має ніякого практичного значення. Тому було запропоновано використовувати саме цей календар. В 1864 році російський астроном Медлер запропонував з XX століття ввести  такий календар в Росії. Для цього треба внести  в юліанський календар наступну поправку:  кожні  128 лет пропускати один високосний (тому що по юліанському календарю на 128 лет приходиться 32 високосних). Однак цей календар не був прийнятий ніде в світі, очевидно, тому що період 128 "некруглий".

Вирішив математичну задачу, повернемося до історичної. Які ж були міркування Григорія XIII (або його співробітників )? Середня довжина григоріанського року  365 суток 5 годин 49 хвилин 12 секунд.    Це значення відрізняється від істинного на цілих 26 секунд. Складається враження, що папа Григорій XIII або його вчені радники придумали календар більш складний ніж хайямовский і до того ж менш точний?
При Григорії XIII тривалість року не була відома настільки точно, як тепер. Комісія Григорія XIII користувались астрономічними таблицями, ск4ладеними Альфонсом X (1221 - 1284), королем Кастилії , який займався астрономією (недаром його прозвали Альфонс-астроном). Ці таблиці вперше були видані в Венеції через сто років після смерті їх автора. В них дається наступна тривалість року 1рік=365д5г49х16с .

Користуючись цими таблицями, комісія повинна була прийти до висновку, що середня довжина року тільки на чотири хвилини відрізняється від істинної. Якби комісія і була б знайома з пропозицією Омара Хайяма, то вона прийшла б до висновку, що календар дає помилку в 11 хвилин. Добавимо, що немає ніяких засад припускати, що комісія використовувала ланцюгові дроби. Що ж стосується Омара Хайяма, товчені впевнені, що він володів. Якщо не повною теорією ланцюгових дробів, то яким-небудь аналогічним принципіальним підходом до задач про найбільш раціональні наближення дробів з невеликим знаменником.

Висновок
Даною роботою я хотіла показати значення ланцюгових дробів в математиці.

Їх можно успішно застосовувати до розв’язання невизначених рівнянь виду ax+by=c. Основна складність при розв’язанні цих рівнянь полягає в тому, щоб знайти будь-який частинний розв’язок. А за допомогою ланцюгових дробів можна вказати алгоритм для пошуку цього частинного розв’язку.

Ланцюгові дроби можна застосовувати і до розв’язання більш складних невизначених рівнянь, наприклад, так званого рівняння Пелля:

().

В теперішній час ланцюгові дроби знаходять застосування в обчислювальній техніці, оскільки це дозволяє будувати ефективні алгоритми для розв’язання задач на ЕВМ.

Література:


  1. Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М, «Просвещение», 84.

  2. М.Б. Балк, Г.Д. Балк. Математика после уроков. М, «Просвещение», 71.

  3. Ш.Х. Михелович. Теория чисел. М, «Высшая школа», 67.

  4. В. И. Арнольд, Цепные дроби, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 14, (2001).

  5. Н. М. Бескин, Цепные дроби Квант, № 1, 1970; Бесконечные цепные дроби, Квант, N8, 1970.

  6. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960







1   2

Схожі:

Література вступ
Формування екологічної компетентності учнів як складова частина навчальної діяльності

Література Вступ
Парфенюк Тетяна Григорівна, вчитель української та зарубіжної літератури навчально-виховного обєднання№2

З української літератури І курс (січень червень 2015 р.) Рекомендована література Основна
Українська література: Підручник для 10 кл середньої школи / В. М. Борщевський К.: Освіта, 1992. 317 с

План Вступ Схема І пристрій оптичних телескопів Висновок Література
Луна довкола Землі. Все це будило думку, примушувало замислюватися про складність Всесвіту, її матеріальність, про безліч жилих світів....

Робоча програма дисципліни «Загальна педагогіка»
Музичне мистецтво, 020205 Образотворче мистецтво, 020207 Дизайн, 020302 Історія, 020303 Філологія. Українська мова та література,...

Література
Формування предметної (інформаційної) компетентності на уроках фізики у учнів базової школи

Література рідного краю
Особистісно-орієнтований підхід у системі превентивної педагогіки та правової освіти підлітків

Зарубіжна література. 2-4 класи
Перелік програм спецкурсів та факультативів, рекомендованих до використання у навчально-виховному процесі

4. Література. Концептуальний аспект
Механізми впровадження моделі у практику роботи школи. Напрями модернізації освітнього процесу та їх обґрунтування

Література: Гончаренко С. У. Фізика. 10-11 кл. – К.: Освіта, 1996
Тема: Електромагнітні хвилі в природі І техніці. Принцип дії радіотелефонного зв’язку. Стільниковий зв'язок



База даних захищена авторським правом © 2017
звернутися до адміністрації

f.lekciya.com.ua
Головна сторінка