Пошук по сайту


Література Вступ

Література Вступ

Сторінка1/2
  1   2
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УККРАЇНИ
ГОЛОВНЕ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ

ВИКОНАВЧОГО ОРГАНУ КИЇВМІСЬКРАДИ

(КИЇВСЬКОЇ МІСЬКОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ)
КИІВСЬКЕ ТЕРИТОРІАЛЬНЕ ВІДДІЛЕННЯ

МАЛОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ


Секція: алгебра та початки аналізу
Базова дисципліна: математика
Ланцюгові дроби

Зміст

1. Вступ

2. Скінченні ланцюгові дроби

3. Підхідні дроби

4. Представлення дійсних чисел

ланцюговими дробами

5. Застосування неперервних

дробів до розв’язання невизначених

рівнянь першого степеня з двома невідомими

6. Загадка Григорія ХІІІ

7. Висновки
Література

Вступ

В теорії чисел, математичному аналізі, теорії ймовірності та в обчислювальній математиці широко використовують ланцюгові дроби.

Найпростішим ланцюговим дробом називається вираз виду

а0 + ____1____

а1+__1___ (1)

а2+....
де а0, а1, а2 – змінні, які в залежності від потреб можна вважати дійсними або комплексними числами, функціями однієї або декількох змінних. Розглядаємо ланцюгові дроби. Ми будемо вважать а1, а2, ....,- додатними числами, а а0 – будь-яким дійсним числом. Ці числа називаються елементами даного ланцюгового дробу. Число елементів може бути скінченним або нескінченним.

Ланцюговий дріб з скінченним числом елементів має вид

(2)
і називається скінченним ланцюговим дробом, а точніше n- членним ланцюговим дробом.

Ланцюговий дріб з нескінченним числом елементів має вид(1) і називається нескінченним ланцюговим дробом.

Для полегшення запису будемо записувати дріб(1) у вигляді [a0;a1,a2...](3), а дріб(2)-у вигляді [a0;a1,a2,....,an](4).Число членів скінченого ланцюгового дробу дорівнює числу елементів, що стоять після крапки з комою.

Ланцюговий дріб Sк=[a0;a1,a2,…,aк], де 0<k<n, називається відрізком ланцюгового дробу(4), а при довільному k>0 Sк-відрізком нескінченного ланцюгового дробу(3). Очевидно, що довільний відрізок довільного ланцюгового дробу є скінченний ланцюговий дріб.

Ланцюговий дріб rк=[акк+1к+2,...] будемо називати залишком нескінченного ланцюгового дробу(3).Усі залишки скінченного ланцюгового дробу також скінченні дроби ,а залишком нескінченного ланцюгового дробу є нескінченний дріб.

Процес послідовного утворення нескінченних ланцюгових дробів, одержаних при розкладі деяких дійсних чисел, вперше був описаний в 1572р. В алгебрі Бомбелі; але Бомбелі, описуючи цей процес, не використовував позначення ланцюгових дробів виду (1). Це позначення вперше зустрічається у Катальді в 1613р., тільки замість знаку „+” він писав „et” .

Скінченні ланцюгові дроби розглядав німецький математик Швентер (1585-1636). Широке використання ланцюгові дроби отримали починаючи з робіт відомого фізика, астронома і математика Гюйгенса. Гюйгенс розглядав задачу підбору зубчатих коліс для побудови моделі, що імітує рух планет у сонячній системі. Відношення числа зубців у цих колесах було як найближче до деякого заданого числа. Число зубців не можна було брати дуже великим , отже доводилось відшукувати такі два відносно невеликі натуральні числа, відношення яких було б близьким до заданого числа. Розв`язок цієї задачі привів до розгляду ланцюгових дробів. Теорія ланцюгових дробів була розроблена спочатку Ейлером, а потім Лагранжем. Отже, розглянемо скінченні ланцюгові дроби.
Скінченні ланцюгові дроби
Усякий скінченний ланцюговий дріб являє собою результат скінченного числа раціональних дій над його елементами, тому скінченний ланцюговий дріб виражає собою деяке дійсне число: якщо всі елементи даного дробу числа раціональні, то й сам дріб є раціональне число. Покажем, що справедливо також і обернене твердження.

Теорема 1:Довільне раціональне число дорівнює деякому скінченому ланцюговому дробу, причому існує один і тільки один скінченний дріб

Доведення: Довільне раціональне число можна записати у вигляді ,де P і Q цілі , причому Q>1. Алгоритм Евкліда для таких чисел P і Q дасть систему рівнянь:

Р=Qa0+r1

Q=r1a1+r2

r1=r2a2+r3 (5), де Q>r1>r2>…>rn>0.

………...

rn-1=rn-1an-1+rn

rn-1=rnan

Систему (5) можна записати у вигляді

, , , … , .

Звідки отримаємо:






або


Для цілого числа, т.б. у випадку коли Q=1 у системі (5) буде тільки перше рівняння Р=1·Р+0 і ланцюговий дріб обірветься на а0=Р.

Отже, ми довели , що будь-яке раціональне число можна розкласти в скінченний ланцюговий дріб. Постає питання: чи є такий розклад єдиний, т.б. чи може існувати скінченний ланцюговий дріб, що дорівнює , з елементами, відмінними від неповних часток аі , отриманих в алгоритмі Евкліда?

Теорема 2: Існує один і тільки один скінченний ланцюговий дріб, що дорівнює даному раціональному числу.

Доведення: Припустимо, що існує два різні дроби, які дорівнюють даному раціональному числу. Тоді, якщо
(6)

(7), то






Вважаєм, що s≥n, тоді оскільки дроби










менше 1, то кожне з чисел а0 і а0` дорівнює цілій частині числа , тому

а0= а0′. Віднімемо від обох частин рівності (8)

а00′, отримаємо






Дроби в лівій і в правій частинах рівності мають однакові чисельники рівні одиниці, тому і знаменники цих дробів також рівні між собою, т.д.




Потім аналогічно доводимо , що а11′, а22′ і через n кроків приходим до рівняння




де s≥n.

Отримали, що при s>n цім число аn дорівнює дробовому числу, а це неможливо. Звідси витікає, що s=n, а отже аn=an`, т.б. ланцюгові дроби (6) і (7) рівні. Теорему доведено.

Підхідні дроби

Усякий скінченний ланцюговий дріб [а012 ... аn] є раціональна функція елементів цього дробу, і тому він може бути поданий як відношення двох многочленів



відносно а0, а1... аn з цілими коефіцієнтами.

Якщо елементи набувають числових значень, то даний ланцюговий дріб постає у вигляді звичайного дробу

Подання скінченного ланцюгового дробу у вигляді простого дробу називається канонічним. Для нуль-членного цепного дробу [а0]=а0 ми за канонічне подання приймаємо дріб .

Розглянемо канонічне подання для n- членного ланцюгового дробу. Нехай відомо канонічне подання для ланцюгових дробів, число членів яких менше від n. Запишемо n- членний ланцюговий дріб [а01, ... аn] у вигляді

01, ... аn]=[а0; r1]=а0+, де r1=[a1;a2... an] -(n-1)- членний

ланцюговий дріб, для якого канонічне подання має вид:

r1=, тоді [a0;a1,a2 … an]=a0+ - цей дріб

і візьмемо за канонічне подання ланцюгового дробу [а012, ...аn]. Отже, можна вважати, що

012, ...аn]=
r1 = [а12, ...,аn]= ,
для чисельників і знаменників цих канонічних подань маєм співвідношення:

р=а0 р′+, =p (10)
Отже, бачимо, що канонічні подання однозначно визначені для скінченних ланцюгових дробів з довільним числом елементів.

В теорії ланцюгових дробів важливу роль відіграють канонічні подання відрізків даного ланцюгового дробу α=[а012,...]; канонічне подання відрізка Sк=[а012...ак] дробу α позначатимемо через і називатимемо підхідним

дробом порядку k даного ланцюгового дробу.

Скінченний ланцюговий дріб має скінченне число підхідних дробів, а нескінченний ланцюговий дріб має нескінченне число підхідних дробів, n-членний дріб α має (n+1) підхідних дробів.

Правило утворення підхідних дробів
Теорема 3: Для довільного k>2

рk=akpk-1+pk-2

qk=akqk-1+qk-2 (11)

po=ao; qo=1; p1=aoa1+1; q1=a1

Доведення: 1)к=2, тоді р22р1о

=>

q2=a2q1+qo

2) к1;a2,...an] і позначимо через його підхідний дріб порядку r. В силу формул (10)

pn=aopn`-1+q`n-1, qn=p`n-1,

а оскільки по нашому припущенню

р`n-1nр`n-2+р`n-3;

q`n-1=anq`n-2+q`n-3
(стоїть аn,а не аn-1, оскільки дріб [а12,...,аn] починається з а1, а не з ао), то

pn=a0(anp′n-2+p′n-3)+(anq′n-2+q′n-3)=an(a0p′n-2+q′n-2)+(a0p′n-3+q′n-3)=anpn-1+pn-2.

qn=anpn-2+pn-3=anqn-1+qn-2.
Теорему доведено.

Формули (11), що виражають чисельник і знаменник підхідного дробу порядку n через елемент an і через чисельники і знаменники двох попередніх підхідних дробів, служать формальною основою усієї теорії ланцюгових дробів.

Послідовне обчислення чисельників рк і знаменників qк підхідних дробів за формулами (11) зручно розміщувати в таблиці.

(12)




ao

a1

a2

...

ак-1

ак

рк

pо=aо

p1=aоа1+1

p21р1+ рo

...

Рк-1к-1рк-2к-3

рккрк-1к-2

qк

qо=1

q11

q22q1+ q0

...

qк-1к-1qк-2+qк-3

qккqк-1+qк-2


Розглянемо властивості підхідних дробів, чисельників і знаменників.
Теорема 4: для усіх k>0

qкpк-1-pкqк-1=(-1)к (13)

Доведення: Помножимо формули(11) відповідно на qк-1 і pк-1 і віднімемо першу від другої:

qкpк-1-pкqк-1=-(qк-1pк-2-pк-1qк-2), оскільки qop-1-poq-1=1 (p-1=1,q-1=0), то теорема доведена.
Теорема 5: для усіх k>1

qкpк-2-pкqк-2=(-1)к-1ак

Доведення: Помножимо формули(11) відповідно на qк-2 і рк-2 і віднімемо першу від другої

qкрк-2кqк-2к(qк-1рк-2к-1qк-2)=(-1)к-1ак
Теорема 6: при k>2





Доведення випливає з теореми 5.
Теорема 7: для довільного к(1<k<n)


Доведення: В силу формули

[a0;a1,a2,…,an]=[a0;a1,a2,…,aк-1,rк]

Ланцюговий дріб у правій частині рівняння має підхідний дріб порядку (k-1)-,і підхідний дріб порядку , який дорівнює самому дробу, а оскільки за формулами (11) ркк-1rкк-2 , qк=qк-1rк+qк-2 , то теорема доведена.
Теорема 8: Чисельник і знаменник будь-якого підхідного дробу – взаємно прості числа .

Доведення: при к=0 р00 q0=1, отже 0,q0)=1. Нехай n>0. Позначимо через d найбільший спільний дільник рк і qк, т.б. 0,q0)=d. З рівняння qкрк-1 – ркqк-1=(-1)к(теор. 4), оскільки d|рк, d|qк, то d|(-1)к, де d>0 → d=1
Якщо раціональне число розкласти в ланцюговий дріб, то останній підхідний дріб являє собою нескоротний дріб рівний

Приклад. Скоротити дріб

Розкласти дріб в ланцюговий дріб.



Знаходимо підхідні дроби.




0

4

2

4

1

1

6

pn

0

1

2

9

11

20

131

qn

1

4

9

40

49

89

583

Отже,
Теорема 9: Парні підхідні дроби утворюють зростаючу

послідовність, а непарні підхідні дроби -

спадну.

Доведення: за теоремою 6.



звідки маємо, що при парному к >,

а при непарному к <


Теорема 10: При 1≤ к ≤ n





Доведення: з теореми 2 pkqk-1-pk-1qk=(-1)k-1 звідки і отримуємо формули 1) і 2).
Теорема 11: Знаменники підхідних дробів до ланцюгового

дробу [ a0;a1,a2…an], починаючи з першого,

утворюють зростаючу послідовність, т.б.

1=q0≤q12<…n

Доведення: оскільки q0=1,q1=a1≥1=q0, то q0 і q1 додатні. Співвідношення qk=qk-1ak+qk-2(2≤k≤n) показує, що і всі наступні знаменники додатні. При к≥2, оскільки тоді an≥1, з qk=qk-1ak+qk-2 отримаємо qk.qk-1+0= qk-1 .
Теорема 12: З двох сусідніх підхідних дробів парний дріб

завжди менше непарного.
Доведення: з теореми 10.



При к парному < , а при к-непарному >, отже з двох сусідніх дробів парний завжди менше непарного.

Наслідок: Довільний парний підхідний дріб менше довільного непарного дробу.

Доведення: Якщо хоча б один парний дріб був більший або рівний непарному, то згідно з теоремою 9 останній парний дріб теж був би більший за останній непарний, що суперечить теоремі 12.
Теорема 13: Відстані між сусідніми підхідними дробами зменшуються з зростанням їх номера.

Доведення: з теорем 10 і 11 маємо:

<
Теорема 14: Підхідні дроби з парними і непарними номерами утворюють систему кінців, вкладених один в одного інтервалів, т. б.


Доведення : За теоремою 9 парні підхідні дроби утворюють зростаючу послідовність, а непарні – спадну послідовність, при цьому довільний парний дріб завжди менше довільного непарного дробу. А оскільки це справедливо для довільного числа підхідних дробів, то

p0 < p2 < p4 < … < p5 < p3 < p1

q0 q2 q4 q5 q3 q1

Нескінченні ланцюгові дроби
Кожному нескінченному ланцюговому дробу [а0;а1,а2... ] (14)

Відповідає нескінченна послідовність підхідних дробів

р0 p1 pк

q0,q1,…qк, ...

Підхідним дробом рк до нескінченного ланцюгового дробу



(14) називається скінченний ланцюговий дріб

рк = [а0;а1,а2 ... ак]



Нескінченний дріб (14) називається збіжним, якщо існує границя його підхідних дробів, т.б. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

L- називається величиною нескінченного ланцюгового дробу (14).

Теорема 15: Якщо нескінченний ланцюговий дріб (1) збігається, то збігаються і всі його залишки; і якщо хоч один з залишків ланцюгового дробу збігається, то збігається і сам дріб.

Доведення : позначимо через рк підхідні дроби



ланцюгового дробу (14), а через р`к – підхідні дроби якого -

q`к

небудь з його залишків rn. На основі теореми 7 маємо

рn = [а0;а1,а2...аn+к]=рn-1p`к + рn-2

qn+к ___q`к______ (k=0,1…)(15)

qn-1p`к + qn-2

q`к
Звідси маємо, що якщо збігається залишок rn, т.б. якщо дріб р`к при k→∞ прямує до границі, яку ми позначимо через rn,

q`к
то дріб pn+к при цьому прямує до границі L, яка дорівнює

qn+к

L=pn-1rn+pn-2

qn-1rn+qn-2

Розв’язав співвідношення (15) відносно p̀к ми таким же

q̀к

шляхом переконуємось у справедливості оберненого твердження. Теорему доведено.
  1   2

поділитися в соціальних мережах



Схожі:

Література вступ
Формування екологічної компетентності учнів як складова частина навчальної діяльності

Література Вступ
Парфенюк Тетяна Григорівна, вчитель української та зарубіжної літератури навчально-виховного обєднання№2

З української літератури І курс (січень червень 2015 р.) Рекомендована література Основна
Українська література: Підручник для 10 кл середньої школи / В. М. Борщевський К.: Освіта, 1992. 317 с

План Вступ Схема І пристрій оптичних телескопів Висновок Література
Луна довкола Землі. Все це будило думку, примушувало замислюватися про складність Всесвіту, її матеріальність, про безліч жилих світів....

Робоча програма дисципліни «Загальна педагогіка»
Музичне мистецтво, 020205 Образотворче мистецтво, 020207 Дизайн, 020302 Історія, 020303 Філологія. Українська мова та література,...

Література
Формування предметної (інформаційної) компетентності на уроках фізики у учнів базової школи

Література рідного краю
Особистісно-орієнтований підхід у системі превентивної педагогіки та правової освіти підлітків

Зарубіжна література. 2-4 класи
Перелік програм спецкурсів та факультативів, рекомендованих до використання у навчально-виховному процесі

4. Література. Концептуальний аспект
Механізми впровадження моделі у практику роботи школи. Напрями модернізації освітнього процесу та їх обґрунтування

Література: Гончаренко С. У. Фізика. 10-11 кл. – К.: Освіта, 1996
Тема: Електромагнітні хвилі в природі І техніці. Принцип дії радіотелефонного зв’язку. Стільниковий зв'язок



База даних захищена авторським правом © 2017
звернутися до адміністрації

f.lekciya.com.ua
Головна сторінка