Пошук по сайту


Дослідження видів функціональних рівнянь І систематизація прийомів І методів розв’язування функціональних рівнянь

Дослідження видів функціональних рівнянь І систематизація прийомів І методів розв’язування функціональних рівнянь

Сторінка1/5
  1   2   3   4   5

Зміст


Зміст 2

Вступ 3

Розділ 1. Поняття функціонального рівняння та способи його розв’язання 5

1.1. Історія виникнення функціональних рівнянь 5

1.2. Розв’язування функціональних рівнянь методом підстановки 7

1.3. Рівняння Коші 9

Розділ 2. Методи розв’язання функціональних рівнянь 12

2.1. Розв'язування найпростіших функціональних рівнянь 12

2.2. Розв'язування функціональних рівнянь методом підстановки 12

2.3. Розв'язування функціональних рівнянь за допомогою методу зведення функціонального рівняння до відомого рівняння та допомогою заміни змінної або функції 17

2.4. Використання значення функції в деяких точках 26

2.5. Розв’язування функціональних рівнянь запропонованих на математичних олімпіадах різних рівнів 27

Висновки 31

Список літератури 33

Вступ


Одне з найважливіших математичних умінь, яке повинні опанувати всі учні – це вміння розв’язувати рівняння. Знайти корені рівняння, розв’язати текстові задачі за допомогою складання рівняння, звести деякий процес до розв’язання рівняння і т. д., тобто рівняння одночасно самі по собі є і задачами і способами розв’язання задач, а вміння розв’язувати їх необхідні всім учням школи. Проте деяким рівнянням не знайшлося гідного місця в математичних программах. Одним з видів таких рівнянь є функціональні рівняння.

Функціональні рівняння фактично не розглядаються в програмі шкільного курсу, але пропонуються на математичних олімпіадах різних рівнів починаючи з 9 класу. Функціональні рівняння знайшли численні застосування в теорії автоматичного керування, при вивченні процесу згоряння палива в ракетних двигунах, в економічних моделях довгострокового прогнозування, у задачах електродинаміки, біології, медицини й у багатьох інших областях науки і техніки, число яких неухильно збільшується. Розв'язання окремих функціональних рівнянь вимагає досить глибокого розуміння предмета і прищеплює любов до самостійної творчої роботи.

Розв'язання висунутої проблеми визначає мету роботи: дослідження видів функціональних рівнянь і систематизація прийомів і методів розв’язування функціональних рівнянь.

Об'єктом дослідження є методи розв’язання функціональних рівнянь.

Предметом дослідження є процес систематизації прийомів, методів розв’язування функціональних рівнянь.

Реалізація мети визначає виконання сукупності задач:

  1. Зібрати інформацію в різних наукових джерелах про застосування різних прийомів, методів розв’язання функціональних рівнянь.

  2. Виділити базові задачі на основі розв’язків функціональних рівнянь.

  3. Визначити способи розв’язання функціональних рівнянь, що зводяться до базових.

  4. Розв’язати за допомогою виділених прийомів і методів рівняння, пропоновані на математичних олімпіадах і конкурсах.

  5. Показати ефективність представлених прийомів і методів розв’язання функціональних рівнянь у процесі дослідження.

Гіпотеза дослідження: процес розв’язання функціональних рівнянь буде більш простий, якщо його технологізувати, намітивши прийоми і методи розв’язання.

Методи дослідження: порівняльний аналіз наукової літератури; методи порівняння, узагальнення, класифікації при виділенні прийомів розв’язання рівнянь, що зводяться до базових розв’язків.

Розділ 1. Поняття функціонального рівняння та способи його розв’язання

1.1. Історія виникнення функціональних рівнянь


Функціональне рівняння – це рівняння, в якому невідомими є функції (одна або декілька). Наприклад,

f(x)+xf(x+1) = 1



Розв'язати функціональне рівняння - це, значить, знайти всі функції, які тотожно йому рівні. Функціональні рівняння виникають в самих різних областях математики, зазвичай в тих випадках, коли потрібно описати всі функції, що володіють заданими властивостями. Термін «функціональне рівняння» використовується для рівнянь, які не можна звести простими способами до алгебраїчних рівнянь. Ця незвідність найчастіше обумовлена тим, що аргументами невідомої функції в рівнянні є не самі незалежні змінні, а деякі дані функції від них. Часто зустрічаються на різних математичних змаганнях.

Деякі функціональні рівняння знайомі нам зі шкільного курсу, це

f(x) = f(-x),

f(-x) = - f(x),

f(x + T) = f(x),

які задають такі властивості функцій, як парність, непарність, періодичність.

Задача розв’язання функціональних рівнянь є однією з найстаріших в математичному аналізі. Вона з'явилися майже одночасно з зачатками теорії функцій. Перший справжній розквіт цієї дисципліни пов'язаний з проблемою паралелограма сил. Ще в 1769 році Даламбер звів обгрунтування закону складання сил до розв'язання функціонального рівняння

(1.1)

Те саме рівняння і з тією ж метою було розглянуто Пуассоном в 1804 році при деякому припущенні аналітичності [2, с.62], і у 1821 році Коші (1789 – 1857) знайшов загальні розв'язки цього рівняння, припускаючи лише неперервність f(x):






Ряд геометричних задач, що призводять до функціональних рівнянь, розглядав англійський математик Ч. Баббедж (1792-1871). [3, с. 87]

Він вивчав, наприклад, періодичні криві другого порядку, що визначаються наступним властивістю для будь-якої пари точок кривої: якщо абсциса другої точки дорівнює ординате першої, то ордината другої точки дорівнює абсциссе першої. Нехай така крива є графіком функції у = f (х); (х, f (х)) - довільна її точка. Тоді, згідно з умовою, точка з абсцисою f (х) має ординату х. Отже,



Цьому функціональному рівнянню задовольняють, зокрема, функції:

,
Одними з найпростіших функціональних рівнянь є рівняння Коші

f(x+y) = f(x)+f(y), (1.2)

f(x+y) = f(x)·f(y), (1.3)

f(xy) = f(x)+f(y), (1.4)

f(xy) = f(x)·f(y), (1.5)

Ці рівняння Коші докладно вивчив у своєму «Курсі Аналізу», виданому в 1821 році. Неперервні розв'язки цих чотирьох основних рівнянь мають відповідно вигляд

,

f(x)=,

f(x)=,

f(x)=

Функціональне рівняння (1.2) було знову застосовано Г. Дарбу до проблеми паралелограма сил і до основної теореми проективної геометрії, його головне досягнення - значне ослаблення припущень. [5, с.15] Ми знаємо, що функціональне рівняння Коші (1.2) визначає в класі неперервних функцій лінійну однорідну функцію f(x) = ax.

Дарбу ж показав, що будь-який розв'язок, неперервний хоча б в одній точці або ж обмежений зверху (або знизу) в довільно малому інтервалі, також повинний мати вигляд f(x) = ax.

Багато функціональних рівнянь не визначають конкретну функцію, а задають широкий клас функцій, тобто виражають властивість, що характеризує той або інший клас функцій. Наприклад, функціональне рівняння f(x+1) = f(x) характеризує клас функцій, що мають період 1, а рівняння f(1+x) = f(1-x) – клас функцій, симетричних відносно прямої x = 1, і т. д.

Взагалі, для функціональних рівнянь відомо мало загальних методів розв'язання. Далі будуть розглянуті деякі прийоми, що дозволяють розв'язувати певні види функціональних рівнянь.
  1   2   3   4   5

поділитися в соціальних мережах



Схожі:

Лабораторна робота 3 розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Мета роботи – дослідити прямі та ітераційні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Пояснювальна записка Навчально-тематичний
Графічний спосіб розв’язування рівнянь, нерівностей, систем Побудова графіків, пов’язаних з функцією антьє І мантисою Додатки

Розв’язування систем рівнянь другого степеня з двома
Шановні учні!Сьогодні на уроці ми працюватимемо разом. Кожному з вас я хочу побажати, щоб на цьому уроці ви були

1 Чисельні методи. Застосування. Основні принципи побудови
Чисельне розв’язання трансцендентних рівнянь. Опис методів дихотомії (половинного ділення), хорд, дотичних, комбінованого методу...

Урок систематизації та узагальнення знань по темі „Квадратні рівняння”
Мета: Систематизувати знання учнів по темі „Квадратні рівняння”. Усувати помилки, які допускають усні під час розв’язування вправ...

Експериментальний урок для російськомовного класу. Рівняння. Розв’язування...
Т. В. Глєбова,учитель математики, спеціаліст вищої кваліфікаційної категорії, «учитель-методист»

Реалізація методів та методичних прийомів на етапі вивчення нового матеріалу
Щоб забезпечити ефективність кожного з них, учитель мас використовувати сукупність методів (словесних, наочних І практичних) та методичних...

Резюме
Кандидатська дисертація: Галуження розв’язків нелінійних інтегральних рівнянь теорії синтезу антен

Тема: Обчислюванні методи розв’язку алгебраїчних І трансцендентних рівнянь
Мета роботи: навчитися розв’язувати рівняння з однією змінною, використовуючи обчислюванні методи

Урок №26 Тема уроку: Розв’язування задач на використання операторів...
Тема уроку: Розв’язування задач на використання операторів розгалуження та різних видів циклічних операторів



База даних захищена авторським правом © 2017
звернутися до адміністрації

f.lekciya.com.ua
Головна сторінка